常系数线性递推数列的极限

数列的极限通常作为微积分的开篇。例如，最简单而重要的事实之一是，等比数列有极限当且仅当公比的绝对值小于1或者公比等于1（此时退化为常数列）。在高中，我们学过两个重要的数列，除了等比，还有等差。那么等差数列的极限如何呢？不难发现，等差数列有极限当且仅当公差等于0（此时退化为常数列）。实际上，等差数列和等比数列，都是一类更广泛的典型数列的特例。这类数列就是由常系数线性递推关系所给出的数列。例如等差数列，满足前后两项之差为常数（公差），等比数列满足前后两项之比为常数（公比），这些关系写出来就是一个递推关系。另一个著名的例子，是斐波那契数列，它的递推关系是：任意连续的三项中，第三项是前两项之和。这样的递推关系，加上初值条件，就可以定出整个数列来。在常系数线性递推关系的情形，得到的数列可以说是最简单的。所以，一般地，可以问，这样的数列有无极限？本问题可以说从原则上解决了这个问题。值得注意的是，我们这里讨论的数列是复数列，递推关系的系数也是复系数。它自然包含了通常所关心的实数列的特殊情况。