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常系数线性递推数列的极限

林开亮 数学纵贯线 2022-08-05

数列的极限通常作为微积分的开篇。例如,最简单而重要的事实之一是,等比数列有极限当且仅当公比的绝对值小于1或者公比等于1(此时退化为常数列)。在高中,我们学过两个重要的数列,除了等比,还有等差。那么等差数列的极限如何呢?不难发现,等差数列有极限当且仅当公差等于0(此时退化为常数列)。实际上,等差数列和等比数列,都是一类更广泛的典型数列的特例。这类数列就是由常系数线性递推关系所给出的数列。例如等差数列,满足前后两项之差为常数(公差),等比数列满足前后两项之比为常数(公比),这些关系写出来就是一个递推关系。另一个著名的例子,是斐波那契数列,它的递推关系是:任意连续的三项中,第三项是前两项之和。这样的递推关系,加上初值条件,就可以定出整个数列来。在常系数线性递推关系的情形,得到的数列可以说是最简单的。所以,一般地,可以问,这样的数列有无极限?本问题可以说从原则上解决了这个问题。值得注意的是,我们这里讨论的数列是复数列,递推关系的系数也是复系数。它自然包含了通常所关心的实数列的特殊情况。



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